Wykład 9

Wyznacznik endomorfizmu

Definicja 1. Niech $V$ $-$ przestrzeń liniowa wymiaru $n$ nad $\mathbb K$. Niech $\chi (\mathbb K)\neq 2$. Niech $T\colon V\to V$ będzie endomorfizmem przestrzeni $V$, to znaczy odwozorowaniem liniowym przestrzenie $V$ w samą siebie. Niech $\mathbb V=(v^1, \ldots, v^n)$ będzie bazą uporządkowaną przestrzeni $V$. Wyznacznikiem endomorfizmu $T$ nazywamy wielkość $\det T$ określoną wzorem $$ \det T= \det A, $$ gdzie $A=A_T$ $-$ macierz odwzorowania $T$ względem pary baz $(\mathbb V, \mathbb V)$.

Zauważmy, że macierz $A$ zależy od wyboru bazy uporządkowanej $\mathbb V$. By przekonać się, że definicja jest poprawna, należy wykazać, że $\det A$ od tego wyboru już nie zależy.

W tym celu wybierzmy inną bazę uporządkowaną $\mathbb V'$ przestrzeni $V$. Niech $A'$ oznacza macierz odwzorowania $T$ względem pary baz $(\mathbb V', \mathbb V')$. Wzór (zam3) wykład 6 głosi, że $A'=B^{-1}AB$, gdzie $B=B(\mathbb V', \mathbb V)$. (Jak pamiętamy z wykładu 6, $B^{-1}=B(\mathbb V, \mathbb V')$). Na podstawie wniosku 10 wykład 8, $\det A'=\det A$, co oczywiście dowodzi poprawności definicji 1.

Zadanie 1 wykład 6 głosi, że przyporządkowania $T\mapsto A_T$ jest izomorfizmem algebr $\operatorname{End}(V)$ i ${\sf M}_{n\times n} (\mathbb K)$. W szczególności, $A_{ST}=A_SA_T$, dla wszelkich $S, T \operatorname{End}(V)$. W świetle definicji 1 wzór Cauchyego możemy wyrazić jak następuje:

Twierdzenie 1. Niech $V$ $-$ przestrzeń wymiaru $n$ nad ciałem $\mathbb K$ charakterystyki różnej od $2$. Jeśli $S,T \in \operatorname{End}(V)$, to

$$ \det (ST)=\det S\det T. $$

Przypomnijmy, że jeśli w $\mathbb V^*$ jest bazą przestrzeni $V^*$ sprzężoną z $\mathbb V$, to macierz $A_T$ wiąże z macierzą $A_{T^*}$ odwzorowania sprzężonego $T^*\in \operatorname{End}(V^*)$ względem pary $(\mathbb V^*, \mathbb V^*)$ związek $A_{T^*}=A_T^{\sf T}$ (wzór (trans) wykład 7). Stąd twierdzenie 2 wykład 8 możemy przeformułować w następujący sposób:

Twierdzenie 2. Niech $V$ $-$ przestrzeń liniowa skończonego wymiaru nad ciałem charakterystyki różnej od $2$. Jeśli $T\in \operatorname{End}(V)$, to

$$ \det T=\det T^*. $$

W języku wyznaczników możemy wysłowić fakt, że $T$ jest automorfizmem przestrzeni liniowej $V$.

Twierdzenie 3. Niech $\chi(\mathbb K)\neq 2$. Wówczas

1. Jeśli $A\in M_{n\times n}(\mathbb K)$, to następujące warunki są równoważne:

   1) $\operatorname{rank} A =n$;

   2) istnieje macierz odwrotna $A^{-1}$;

   3) $\det A\neq 0$.

1. Jeśli $V$ $-$ przestrzeń skończonego wymiaru nad $\mathbb K$, to

   $$ T\in \operatorname{Aut}(V)\quad\text{wtedy i tylko wtedy, gdy}\quad \det T\neq 0. $$

Dowód. $A)\Rightarrow B)$: Skoro $\operatorname{rank} A=n$, kolumny $A^1,\ldots, A^n$ tworzą bazę przestrzeni $\mathbb K^n$. W takim razie każdy wektor $y\in \mathbb K^n$ jest kombinacją liniową wektorów $A^1, \ldots, A^n$. Podstawmy za $y$ kolejne wersory $e^j$, $j=1,\ldots, n$. Wtedy muszą istnieć współczynniki $b_{ij}$, $i=1, \ldots, n$, że

$$ e^j=b_{1j}A^1+\cdots + b_{nj}A^n. $$

Utwórzmy macierz $B=[b_{ij}]$. Kombinację liniową wyrażającą $e^j$ możemy przepisać tak: $e^j=AB^j$. Stąd

$$ I=[e^1,\ldots, e^n]=AB. $$

Podobnie, z faktu, że rząd macierzy $A$ jest równy $n$ wnosimy, że wiersze $A_1, \ldots, A_n$ tworzą bazę przestrzeni $\mathbb K^{n*}$. W takim razie istnieje macierz współczynników $C=[c_{ij}] \in {\sf M}_{n\times n}(\mathbb K)$, że

$$ e^*_i=c_{i1}A_1+\cdots + c_{in}A_n =C_iA,\quad i=1,\ldots n. $$

(Przypomnijmy, że $e^*_i$ jest wektorem wierszowym, mającym na $i$-tym miejscu $1$, zaś na pozostałych $0$). Stąd

$$ I=\left[\begin{array}{c} e^*_1 \\ \vdots \\ e^*_n\end{array}\right]=CA. $$

Na mocy łączności mnożenia macierzy mamy

$$ C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B. $$

W takim razie, $BA=AB=I$ i macierz $B$ jest odwrotna do $A$; to znaczy, $B=A^{-1}$.

$B)\Rightarrow C)$: Jest to konsekwencja wniosku 10 wykład 8.

$C)\Rightarrow A)$: Przeprowadzimy dowód nie wprost. Przypuśćmy, że rząd macierzy $A$ jest mniejszy niż $n$. Wtedy kolumny $A^1,\ldots , A^n$ są liniowo zależne. W takim razie jedna z nich daje się zapisać jako kombinacja liniowa pozostałych (twierdzenie 3 wykład 4). Dla uproszczenie zapisu przyjmijmy, że kolumną tą jest $A^1$; to znaczy, istnieją skalary $\beta_2, \ldots, \beta_n$, że $A^1=\beta_2A^2+\cdots +\beta_nA^n$.

Na podstawie twierdzenia 6 wykład 8 wnosimy, że

$$ \begin{eqnarray} \det A & = & |A^1,A^2, \ldots , A^n| = |\beta_2A^2+\cdots+\beta_n A^n, A^2, \ldots , A^n|\\ & = & \beta_2|A^2,A^2, \ldots , A^n| +\cdots + \beta_n|A^n,A^2,\ldots, A^n|. \end{eqnarray} $$

Każdy z wyznaczników stojących po prawej stronie ostatniej równości ma parę jednakowych kolumn. Na podstawie wniosku 4 wykład 8 musi więc być równy $0$. W wyniku tego także $\det A=0$. Otrzymaliśmy więc sprzeczność.$\lozenge$

Przejdźmy do dowodu drugiej części twierdzenia. Niech $\dim V=n$. Niech $A_T$ będzie macierzą odwzorowania $T$ względem pary jednakowych baz $(\mathbb V, \mathbb V)$. Na podstawie lematów 3 i 4 wykład 7, $T\in \operatorname{Aut}(V)\Leftrightarrow \dim \operatorname{im} T=n$. Z lematu 4 wykład 6 wynika, że $\dim \operatorname{im} T =\operatorname{rank} A_T$. Stąd $T\in \operatorname{Aut}(V)\Leftrightarrow \operatorname{rank} A_T =n$. Jednak z poprzedniej części twierdzenia $\operatorname{rank} A_T =n \Leftrightarrow \det A_T\neq 0$. W rezultacie $T\in \operatorname{Aut}(V)\Leftrightarrow \det A_T\neq 0$. $\square$

Uwaga 1. Z dowodu wynika, że implikacja $A)\Rightarrow B)$ nie wymaga założenie $\chi (\mathbb K)\neq 2$. W istocie nie wymaga tego założenia także implikacja przeciwna: $A)\Rightarrow B)$.

Rozwinięcie wyznacznika względem wiersza, kolumny

Definicja 2. Dano macierz $A\in {\sf M}_{n\times n}(\mathbb K)$. Niech $A_{ij}$ oznacza macierz $(n-1)\times(n-1)$, powstałą przez wykreślenie w $A$ $i$-tego wiersza i $j$-tej kolumny. Jej wyznacznik nazywamy $(i,j)$-minorem macierzy $A$. Z kolei skalar $D_{ji}=(-1)^{i+j}|A_{ij}|$ nazywamy dopełnieniem algebraicznym wyrazu $a_{ij}$, albo $(i,j)$-wyrazu macierzy $A$.

Uwaga 2. Proszę zauważyć, że kolejność wskaźników w dopełnieniu i minorze jest przestawiona. W wielu podręcznikach takiej zamiany kolejności nie dokonuje się.

Twierdzenie 4. Niech $A\in {\sf M}_{n\times n}(\mathbb K)$. Wówczas

1. Dla wszelkich $i\in \{1, \ldots, n\}$

$$ \det A=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|=\sum_{j=1}^n a_{ij}D_{ji} $$

(rozwinięcie wyznacznika macierz $A$ względem $i$-tego wiersza).

1. Dla wszelkich $j\in \{1, \ldots, n\}$

$$ \det A=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|=\sum_{i=1}^n D_{ji}a_{ij} $$

(rozwinięcie wyznacznika macierzy $A$ względem $j$-tej kolumny).

Dowód. Udowodnimy tylko pierwszą część twierdzenia. Dowód drugiej części przebiega podobnie.

Rozwińmy wektor wierszowy $A_i$ względem bazy standardowej: $A_i=a_{i1} e^*_1+\cdots+ a_{in}e^*_{n}$. Z liniowości wyznacznika jako funkcji wierszy (twierdzenie 5 wykład 8):

$$ |A|=|A_1,\ldots, A_i, \ldots, A_n|=a_{i1}|A_1,\ldots, e^*_1, \ldots, A_n|+\cdots + a_{in}|A_1,\ldots, e^*_n, \ldots, A_n|. \tag{lin} $$

Wprowadźmy oznaczenia $$ m_j=|A_1,\ldots, A_{i-1}, e^*_j, A_{i+1}, \ldots, A_n|, \quad B=(A_1,\ldots, A_{i-1}, e^*_j, A_{i+1}, \ldots, A_n). $$

Utwórzmy nową macierz $$ C=(A_1,\ldots,A_{i-1}, A_{i+1},\ldots, A_n, e^*_j)=\left[ \begin{array}{rrrrr} a_{11} &\cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i-1,1} &\cdots & a_{i-1,j} & \cdots & a_{i-1, n}\\ a_{i+1,1} &\cdots & a_{i+1,j} & \cdots & a_{i+1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn}\\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \end{array} \right] $$

Powstała ona przez przestawienie wierszy w $B$ za pomocą permutacji cyklicznej $\tau=(n, n-1, \ldots, i+1,i)$. Ponieważ $\operatorname{sgn}(\tau)=(-1)^{n-i}$, więc na podstawie twierdzenia 3 wykład 8 otrzymamy $$ m_j=(-1)^{n-i}|C|. $$

Utwórzmy z kolei macierz $G$ przez przestawienie kolumn macierz $C$ za pomocą permutacji $\kappa=(n, n-1, \ldots, j+1, j)$. Z twierdzenia 1 wykład 8 wynika, że $|C|=(-1)^{n-j}|G|$ i w rezultacie

$$ m_j=(-1)^{n-i}(-1)^{n-j}|G|= (-1)^{i+j} |G|. \tag{emj} $$

Sama macierz $G$ przedstawia się następująco:

$$ G = \left[ \begin{array}{rrrrrrr} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1n} & a_{1j}\\ \vdots & \ddots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1, n} & a_{i-1, j}\\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1, n} & a_{i+1, j}\\ \vdots & \ddots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n n} & a_{n, j}\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right]. \tag{Gr} $$

Obliczmy wyznacznik macierzy $G$ wprost z definicji: $ |G|=\sum_\sigma \operatorname{sgn}(\sigma)g_{1\sigma(1)}\cdots g_{n\sigma(n)} $. Z (Gr) wynika, że jeśli tylko $n\neq \sigma(n)$, to $g_{n\sigma(n)}=0$, a jeśli $n=\sigma(n)$, to $g_{n\sigma(n)}=1$. W takim razie,

$$ |G|=\sum_{\sigma: \sigma(n)=n} \operatorname{sgn}(\sigma)g_{1\sigma(1)}\cdots g_{n-1,\sigma(n-1)} = \sum_{\sigma\in S_{n-1}} \operatorname{sgn}(\sigma)g_{1\sigma(1)}\cdots g_{n-1,\sigma(n-1)}= |G_{nn}|, $$

gdzie $|G_{nn}|$ oznacza (n,n)-minor macierz $G$. Zauważmy jednak, że $G_{nn}=A_{ij}$

Na podstawie (emj) otrzymamy więc

$$ m_j= (-1)^{i+j} |A_{ij}| $$

Pozostaje skorzystać z definicji $m_j$ i otrzymane wyrażenia na $m_j$ wstawić do wzoru (lin). $\square$

Przykład 1. Obliczymy wyznacznik macierzy

$$ A =\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 3\\ -1 & -1 & 3 & 4\\ 2 & 0 & -1 & 3\\ 3 & 0 & 2 & 1 \end{array} \right]. $$

W tym celu rozwijamy go względem drugiej kolumny:

$$ |A|=(-1)^{1+2}2|A_{12}|+(-1)^{2+2} (-1)|A_{22}|. $$

$$ |A_{12}|=\left| \begin{array}{rrr} -1 & 3 & 4\\ 2 & -1 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right|. $$$$ |A_{22}|=\left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3\\ 2 & -1 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right|. $$

Możemy teraz wyliczyć oba minory i wstawić do wzoru na $|A|$, albo jeszcze skorzystać z liniowości wyznacznika ze względu na pierwszy wiersz, jako że wiersze drugi i trzeci w obu minorach się powtarzają:

$$ |A| = -2|A_{12}|-|A_{22}| = \left| \begin{array}{rrr} 1 & -7 & -11\\ 2 & -1 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right| =-1-63-44-33+14-6=-133. $$

#obliczanie wyznacznika za pomocą pakietu sympy
# pobranie z pakietu funkcji tworzącej macierze (czysty Python nie ma takiej struktury), i funkcji wyznacznik:

from sympy import Matrix, det  

A=Matrix([[1,2,1,3],[-1,-1,3,4],[2,0,-1,3],[3,0,2,1]])

A

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 3\\-1 & -1 & 3 & 4\\2 & 0 & -1 & 3\\3 & 0 & 2 & 1\end{matrix}\right]$

det(A)

$\displaystyle -133$

Wniosek 5. Niech $A\in {\sf M}_{n\times n}(\mathbb K)$ i niech $\chi(\mathbb K)\neq 2$. Wówczas

1. Dla wszelkich $i, k\in \{1, \ldots, n\}$, jeśli $i\neq k$

$$ \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{kj}|A_{ij}|=\sum_{j=1}^n a_{kj}D_{ji} =0 $$

1. Dla wszelkich $j, k\in \{1, \ldots, n\}$, jeśli $j\neq k$

$$ \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ik}|A_{ij}|=\sum_{i=1}^n D_{ji}a_{ij}=0 $$

Dowód. Utwórzmy macierz $B$ przez zastąpienie w macierzy $A$ jej $i$-tego wiersza przez $k$-ty i pozostawienie pozostałych wierszy bez zmian; to znaczy, $ B=(A_1,\ldots, A_{i-1}, A_k, A_{i+1},\ldots, A_n)$. Macierz $B$ ma więc dwa takie same wiersze: $i$-ty i $k$-ty. Z wniosku 4 wykład 8 wynika, że $\det B=0$. Rozwijając $B$ względem $i$ tego wiersza, otrzymamy

$$ 0=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} b_{ij}|B_{ij}| $$

Jednak $b_{ij}=a_{kj}$ oraz $B_{ij}=A_{ij}$ dla $j=1,\ldots, n$. Skąd natychmiast wynika żądany wzór.

Podobnie przebiega rozumowanie dla kolumn. $\square$

18.01.21

Wyznaczanie macierzy odwrotnej

Twierdzenie 6. Niech $A\in {\sf M}_{n\times n}(\mathbb K)$ i niech $\chi(\mathbb K)\neq 2$. Jeśli $A$ jest odwracalna (równoważnie, $|A|\neq 0$), to macierz odwrotna wyraża się wzorem

$$ A^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{D_{11}}{|A|} & \cdots &\frac{D_{1n}}{|A|}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{D_{n1}}{|A|} & \cdots &\frac{D_{nn}}{|A|} \end{array} \right], $$

gdzie $D_{ij}$ jest dopełnieniem algebraicznym wyrazu $a_{ji}$.

Dowód. Oznaczmy przez $B$ macierz stojącą po prawej stronie naszego wzoru. Niech $C=AB$. Wtedy w zgodzie z twierdzeniem 4 i wnioskiem 5 $$ c_{ki}=\sum_{j=1}^n a_{kj}b_{ji}=\sum_{j=1}^n a_{kj}\frac{D_{ji}}{|A|}= \frac{\sum_{j=1}^n a_{kj}D_{ji}}{|A|}=\delta_{ik}, $$ gdzie $\delta_{ik}$ oznacza deltę Kroneckera. Ponieważ $I=[\delta_{ik}]$, więc $C=I$. $\square$

Uwaga 2. Twierdzenie 6 daje prosty sposób wyznaczania bazy dualnej. Przypuśćmy, że $\mathbb V=(v^1, \ldots, v^n)$ jest bazą (uporządkowaną) w $\mathbb K^n$. Utwórzmy z wektorów tej bazy macierz $A=[v^1,\ldots , v^n]$. Niech $B$ będzie macierzą odwrotną do $A$. Wtedy dla wszelkich $i, j$

$$ \delta_{ij}= B_iA^j= B_iv^j, $$

co oznacza, że $B_i$ możemy utożsamić z funkcjonałem liniowym $v^*_i$, bedącym $i$-tym elementem bazu dualnej (porównaj: przykład 1 wykład 7). Innymi słowy, wiersze macierzy odwrotnej do $A$ tworzą bazę dualną do $\mathbb V$.

#wyznaczenie macierzy odwrotnej do M za pomocą sympy; A wzięta z przykładu 1

B=A.inv()

B

$\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{1}{19} & - \frac{2}{19} & \frac{15}{133} & \frac{32}{133}\\\frac{8}{19} & - \frac{3}{19} & - \frac{25}{133} & - \frac{9}{133}\\\frac{1}{19} & \frac{2}{19} & - \frac{34}{133} & \frac{25}{133}\\\frac{1}{19} & \frac{2}{19} & \frac{23}{133} & - \frac{13}{133}\end{matrix}\right]$

A*B

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

Zadania i komentarze.

1. Zbiór $\operatorname{GL}_n(\mathbb K)$ wszystkich macierzy odwracalnych $n\times n$ o wyrazach z ciała $\mathbb K$ nazywamy pełną grupą liniową stopnia $n$ nad $\mathbb K$. Nazwa nie jest myląca, jest on grupą z działaniem mnożenia macierzy:

Elementem neutralnym jest macierz jednostkowa $I$. Mnożenie macierzy jest łączne. Mnożenie jest wykonalne w $\operatorname{GL}_n(\mathbb K)$. Rzeczywiście, jeśli $A, B\in \operatorname{GL}_n(\mathbb K)$, to

$$ (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}= AIA^{-1}=AA^{-1}=I $$

i podobnie, $(B^{-1} A^{-1})(AB)=I$, więc $B^{-1}A^{-1}$ jest elementem odwrotnym do $AB$.

2. Niech $V$ przestrzeń liniowa wymiaru $n$ nad $\mathbb K$. $\operatorname{Aut}(V)$ jest grupą z działaniem składania przekształceń. Niech $\mathbb V$ $-$ baza uporządkowana w $V$ i niech $A_T$ $-$ macierz automorfizmu $T$ względem pary baz uporządkowanych $(\mathbb V, \mathbb V)$. Przyporządkowanie $T\stackrel{\varphi}{\mapsto} A_T$ jest izomorfizmem grup $\operatorname{Aut}(V)$ i $\operatorname{GL}_n(\mathbb K)$. To znaczy, jest bijekcją oraz $\varphi(ST)=\varphi(S)\varphi(T)$ lub, co na jedno wychodzi, $A_{ST}=A_SA_T$.

3. Niech $\chi(\mathbb K)\neq 2$. Niech $\operatorname{SL}_n(\mathbb K)=\{A\in {\sf M}_{n\times n}(\mathbb K)\colon \det A=1\}$. W oparciu o twierdzenie 8 oraz wniosek 9 wnosimy, że $\operatorname{SL}_n(\mathbb K)$ jest podgrupą grupy $\operatorname{GL}_n(\mathbb K)$.

4. Sprawdzić, że zbiór $G=\{A\in \operatorname{GL}_n(\mathbb C) \colon |\det A|=1\}$ jest podgrupą grupy $\operatorname{GL}_n(\mathbb C)$.

5. Niech $G, H$ $-$ grupy. Odwzorowanie $\varphi \colon G\to H$ nazywamy homomorfizmem (grupy $G$ w $H$) jeśli

$$\varphi(st)=\varphi(s)\varphi(t), \,\, \text{dla wszelkich $s,t\in G$}.$$

1. Wykazać, że

• $\varphi(e)=e$. (Symbolem $e$ oznaczyliśmy zarówno element neutralny w $G$, jak i w $H$.)

• $\varphi(x^{-1})= \varphi(x)^{-1}$, dla wszelkich $x\in G$.

1. Wykazać, że

• zbiór $\operatorname{ker} \varphi = \{g\in G\colon \varphi (g)=e\}$ jest podgrupą grupy $G$;

• zbiór $\varphi(G)= \{\varphi(g)\colon g\in G\}$ jest podgrupą grupy $H$.

Obserwacja. Niech $\chi (\mathbb K)\neq 2$. Wtedy $\operatorname{SL}_n(\mathbb K) =\operatorname{ker}\varphi$, gdzie $\varphi\colon \operatorname{SL}_n(\mathbb K)\to \mathbb K$ jest dane wzorem $\varphi(A)=\det A$.

1. Wykazać, że homomorfizm $\varphi\colon G\to H$ jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{ker }\varphi =e$.

6. Dla każdej permutacji $\sigma\in S_n$ określmy odwzorowanie $T_\sigma \colon \mathbb K^n\to \mathbb K^n$ wzorem:

$$ T_\sigma (x_1, x_2, \ldots , x_n)= (x_{\sigma^{-1}(1)}, x_{\sigma^{-1}(2)},\ldots, x_{\sigma^{-1}(n)}). $$

Innymi słowy, $T_\sigma(x)_i=x_{\sigma^{-1}(i)}$, dla wszelkich $i\in\{1,\ldots, n\}$. Wykazać, że:

• $T$ jest automorfizmem przestrzeni $\mathbb K^n$.

• Dla $j$-tego wektor bazy standardowej $T_\sigma (e^j)=e^{\sigma (j)}$

• Niech $\mathbb E=(e^1, \ldots e^n)$. Wyrazy macierz $A_\sigma$ odwzorowania $T_\sigma$ względem pary baz uporządkowanych $(\mathbb E, \mathbb E)$ spełniają równania

$$ a_{ij}=\delta_{i\sigma(j)}= \delta_{\sigma^{-1}(i) j}. $$

• Dla wszelkich $\sigma, \tau\in S_n$, $T_\tau T_\sigma=T_{\tau\sigma}$; to znaczy, przyporzadkowanie $\sigma\mapsto T_\sigma$ jest homomorfizmem.

• $\sigma\mapsto T_\sigma$ jest różnowarotściowe;

• $\det T_\sigma=\operatorname{sgn}(\sigma)$.

7. Macierz $A=[a_{ij}]$ nazywamy górnotrójkątną jeśli dla wszelkich wskaźników $i, j$ mamy $a_{ij}=0$, o ile $i>j$.

Inaczej, $$ A= \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ 0& 0& \cdots & a_{nn} \end{array} \right]. $$

Wykazać, że $\det A=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$.

8. Niech $A\in {\sf M}_{m\times n}(\mathbb K)$, $K\subseteq\{1,\ldots, m\}$, $L\subseteq\{1,\ldots, n\}$. Przez $A_{KL}$ oznaczamy macierz powstałą przez wykreślenie wszystkich wierszy o numerach nienależących $K$ oraz kolumn o numerach nienależących do $L$. $A_{KL}$ nazywamy $K,L$-podmacierzą macierzy $A$. Np.: Jeśli

$$ A= \left[ \begin{array}{rrrr} 0 & 2 & 1 & 3\\ 1 & 2& -1 &-2\\ 3& 2 &5 & 4\\ 0& 0& 1 & -1 \end{array} \right], $$

to

$$ A_{\{1,4\}\{2,3\}}= \left[ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right]. $$

Wykazać, że $\operatorname{rank} A$ jest równy największej spośród liczb $s$, że istnieje podmacierz kwadratowa macierzy $A$ rozmiaru $s\times s$, że jej rząd jest $s$.

Jeśli $\chi(\mathbb K)\neq 0$, to

$$ \operatorname{rank} A = \max\{ s\colon \text{istnieją $K\subseteq\{1,\ldots, m\}$, $L\subseteq\{1,\ldots, n\}$, że $|K|=|L|=s$ i $\det A_{KL}\neq 0$}\}. $$